¿Debo tener activado el Bluetooth todo el tiempo para conectar Amazfit GTR 3?

No, no es necesario tener activado el Bluetooth en el teléfono todo el tiempo.
Active el Bluetooth cuando necesite sincronizar los datos, recibir notificaciones y actualizar el firmware.
Cuando desactive el Bluetooth, el reloj seguirá controlando los pasos, el sueño y los ejercicios, y vibrará para las alarmas.