¿Debo tener activado el Bluetooth todo el tiempo para conectar Amazfit T-Rex Pro?

No, no es necesario tener activado el Bluetooth en el teléfono todo el tiempo.
Active el Bluetooth cuando necesite sincronizar los datos, recibir notificaciones y actualizar el firmware.
Cuando desactive el Bluetooth, el reloj seguirá controlando los pasos, el sueño y los ejercicios, y vibrará para las alarmas.